Resolver {l}{x+y=220}{3/5x=38y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 3 } { 5 } x = 38 y - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{41775}{193} = 216\frac{87}{193} \approx 216.450777202$$

$$y = \frac{685}{193} = 3\frac{106}{193} \approx 3.549222798$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 38y en ambos lados.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=220$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+220$$

Substitúe x por -y+220 na outra ecuación, \frac{3}{5}x-38y=-5.

$$\frac{3}{5}\left(-y+220\right)-38y=-5$$

Multiplica \frac{3}{5} por -y+220.

$$-\frac{3}{5}y+132-38y=-5$$

Suma -\frac{3y}{5} a -38y.

$$-\frac{193}{5}y+132=-5$$

Resta 132 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{193}{5}y=-137$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{193}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{685}{193}$$

Substitúe y por \frac{685}{193} en x=-y+220. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{685}{193}+220$$

Suma 220 a -\frac{685}{193}.

$$x=\frac{41775}{193}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 38y en ambos lados.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{38}{-38-\frac{3}{5}}&-\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\\-\frac{\frac{3}{5}}{-38-\frac{3}{5}}&\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}&\frac{5}{193}\\\frac{3}{193}&-\frac{5}{193}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}\times 220+\frac{5}{193}\left(-5\right)\\\frac{3}{193}\times 220-\frac{5}{193}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41775}{193}\\\frac{685}{193}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 38y en ambos lados.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Para que x e \frac{3x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{3}{5} e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=\frac{3}{5}\times 220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Simplifica.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

Resta \frac{3}{5}x-38y=-5 de \frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

Suma \frac{3x}{5} a -\frac{3x}{5}. \frac{3x}{5} e -\frac{3x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

Suma \frac{3y}{5} a 38y.

$$\frac{193}{5}y=132+5$$

Suma 132 a 5.

$$\frac{193}{5}y=137$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{193}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{685}{193}$$

Substitúe y por \frac{685}{193} en \frac{3}{5}x-38y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{3}{5}x-38\times \frac{685}{193}=-5$$

Multiplica -38 por \frac{685}{193}.

$$\frac{3}{5}x-\frac{26030}{193}=-5$$

Suma \frac{26030}{193} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{5}x=\frac{25065}{193}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{41775}{193}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$