Resolver {l}{x+y=220}{2/5x=3/8y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=100$$

$$y=120$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{3}{8}y en ambos lados.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=220$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+220$$

Substitúe x por -y+220 na outra ecuación, \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5.

$$\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5$$

Multiplica \frac{2}{5} por -y+220.

$$-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5$$

Suma -\frac{2y}{5} a -\frac{3y}{8}.

$$-\frac{31}{40}y+88=-5$$

Resta 88 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{31}{40}y=-93$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{31}{40}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=120$$

Substitúe y por 120 en x=-y+220. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-120+220$$

Suma 220 a -120.

$$x=100$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=100,y=120$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{3}{8}y en ambos lados.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=100,y=120$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{3}{8}y en ambos lados.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Para que x e \frac{2x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{2}{5} e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Simplifica.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Resta \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 de \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Suma \frac{2x}{5} a -\frac{2x}{5}. \frac{2x}{5} e -\frac{2x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Suma \frac{2y}{5} a \frac{3y}{8}.

$$\frac{31}{40}y=88+5$$

Suma 88 a 5.

$$\frac{31}{40}y=93$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{31}{40}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=120$$

Substitúe y por 120 en \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5$$

Multiplica -\frac{3}{8} por 120.

$$\frac{2}{5}x-45=-5$$

Suma 45 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2}{5}x=40$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=100$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=100,y=120$$