Resolver {l}{x+y=204}{2/3y=3/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=96$$

$$y=108$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{3}{4}x en ambos lados.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=204$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+204$$

Substitúe x por -y+204 na outra ecuación, -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0.

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

Multiplica -\frac{3}{4} por -y+204.

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

Suma \frac{3y}{4} a \frac{2y}{3}.

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

Suma 153 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{17}{12}y=153$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{17}{12}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=108$$

Substitúe y por 108 en x=-y+204. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-108+204$$

Suma 204 a -108.

$$x=96$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=96,y=108$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{3}{4}x en ambos lados.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=96,y=108$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{3}{4}x en ambos lados.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Para que x e -\frac{3x}{4} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -\frac{3}{4} e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Simplifica.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Resta -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 de -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Suma -\frac{3x}{4} a \frac{3x}{4}. -\frac{3x}{4} e \frac{3x}{4} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Suma -\frac{3y}{4} a -\frac{2y}{3}.

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{17}{12}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=108$$

Substitúe y por 108 en -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

Multiplica \frac{2}{3} por 108.

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

Resta 72 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=96$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=96,y=108$$