Resolver {l}{x+y=15}{250x+80y=2900}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 15 } \\ { 250 x + 80 y = 2900 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=15$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+15$$

Substitúe x por -y+15 na outra ecuación, 250x+80y=2900.

$$250\left(-y+15\right)+80y=2900$$

Multiplica 250 por -y+15.

$$-250y+3750+80y=2900$$

Suma -250y a 80y.

$$-170y+3750=2900$$

Resta 3750 en ambos lados da ecuación.

$$-170y=-850$$

Divide ambos lados entre -170.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-y+15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5+15$$

Suma 15 a -5.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-250}&-\frac{1}{80-250}\\-\frac{250}{80-250}&\frac{1}{80-250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}&\frac{1}{170}\\\frac{25}{17}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}\times 15+\frac{1}{170}\times 2900\\\frac{25}{17}\times 15-\frac{1}{170}\times 2900\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

Para que x e 250x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 250 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$250x+250y=250\times 15,250x+80y=2900$$

Simplifica.

$$250x+250y=3750,250x+80y=2900$$

Resta 250x+80y=2900 de 250x+250y=3750 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$250x-250x+250y-80y=3750-2900$$

Suma 250x a -250x. 250x e -250x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$250y-80y=3750-2900$$

Suma 250y a -80y.

$$170y=3750-2900$$

Suma 3750 a -2900.

$$170y=850$$

Divide ambos lados entre 170.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 250x+80y=2900. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$250x+80\times 5=2900$$

Multiplica 80 por 5.

$$250x+400=2900$$

Resta 400 en ambos lados da ecuación.

$$250x=2500$$

Divide ambos lados entre 250.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=5$$