Resolver {l}{x+y=11}{2x-3y=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 11 } \\ { 2 x - 3 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=11$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+11$$

Substitúe x por -y+11 na outra ecuación, 2x-3y=-8.

$$2\left(-y+11\right)-3y=-8$$

Multiplica 2 por -y+11.

$$-2y+22-3y=-8$$

Suma -2y a -3y.

$$-5y+22=-8$$

Resta 22 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-30$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-y+11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-6+11$$

Suma 11 a -6.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 11+\frac{1}{5}\left(-8\right)\\\frac{2}{5}\times 11-\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2y=2\times 11,2x-3y=-8$$

Simplifica.

$$2x+2y=22,2x-3y=-8$$

Resta 2x-3y=-8 de 2x+2y=22 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+2y+3y=22+8$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+3y=22+8$$

Suma 2y a 3y.

$$5y=22+8$$

Suma 22 a 8.

$$5y=30$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 2x-3y=-8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-3\times 6=-8$$

Multiplica -3 por 6.

$$2x-18=-8$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$2x=10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=6$$