Resolver {l}{x+y=10}{3x+2y=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 10 } \\ { 3 x + 2 y = 19 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=11$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=10,3x+2y=19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=10$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+10$$

Substitúe x por -y+10 na outra ecuación, 3x+2y=19.

$$3\left(-y+10\right)+2y=19$$

Multiplica 3 por -y+10.

$$-3y+30+2y=19$$

Suma -3y a 2y.

$$-y+30=19$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-11$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=11$$

Substitúe y por 11 en x=-y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-11+10$$

Suma 10 a -11.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=11$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=10,3x+2y=19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{1}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 10+19\\3\times 10-19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=11$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=10,3x+2y=19$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3y=3\times 10,3x+2y=19$$

Simplifica.

$$3x+3y=30,3x+2y=19$$

Resta 3x+2y=19 de 3x+3y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+3y-2y=30-19$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-2y=30-19$$

Suma 3y a -2y.

$$y=30-19$$

Suma 30 a -19.

$$y=11$$

Substitúe y por 11 en 3x+2y=19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\times 11=19$$

Multiplica 2 por 11.

$$3x+22=19$$

Resta 22 en ambos lados da ecuación.

$$3x=-3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=11$$