Resolver {l}{x+y=-1}{4x-2y=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = - 1 } \\ { 4 x - 2 y = - 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=-1$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y-1$$

Substitúe x por -y-1 na outra ecuación, 4x-2y=-16.

$$4\left(-y-1\right)-2y=-16$$

Multiplica 4 por -y-1.

$$-4y-4-2y=-16$$

Suma -4y a -2y.

$$-6y-4=-16$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$-6y=-12$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2-1$$

Suma -1 a -2.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4}&-\frac{1}{-2-4}\\-\frac{4}{-2-4}&\frac{1}{-2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\left(-16\right)\\\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

Para que x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4x+4y=4\left(-1\right),4x-2y=-16$$

Simplifica.

$$4x+4y=-4,4x-2y=-16$$

Resta 4x-2y=-16 de 4x+4y=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+4y+2y=-4+16$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y+2y=-4+16$$

Suma 4y a 2y.

$$6y=-4+16$$

Suma -4 a 16.

$$6y=12$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 4x-2y=-16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-2\times 2=-16$$

Multiplica -2 por 2.

$$4x-4=-16$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$4x=-12$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=2$$