Resolver {l}{x+my=a}{x-ny=b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+my=a$$

Resta my en ambos lados da ecuación.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

Substitúe x por a-my na outra ecuación, x+\left(-n\right)y=b.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

Suma -my a -ny.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

Resta a en ambos lados da ecuación.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

Divide ambos lados entre -m-n.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Substitúe y por -\frac{b-a}{m+n} en x=\left(-m\right)y+a. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

Multiplica -m por -\frac{b-a}{m+n}.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

Suma a a \frac{m\left(b-a\right)}{m+n}.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Resta x+\left(-n\right)y=b de x+my=a mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+my+ny=a-b$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$my+ny=a-b$$

Suma my a ny.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

Divide ambos lados entre m+n.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

Substitúe y por \frac{a-b}{m+n} en x+\left(-n\right)y=b. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

Multiplica -n por \frac{a-b}{m+n}.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

Suma \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$