Resolver {l}{x+6y=90}{3x+3y=-30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 6 y = 90 } \\ { 3 x + 3 y = - 30 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-30$$

$$y=20$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+6y=90$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$x=-6y+90$$

Substitúe x por -6y+90 na outra ecuación, 3x+3y=-30.

$$3\left(-6y+90\right)+3y=-30$$

Multiplica 3 por -6y+90.

$$-18y+270+3y=-30$$

Suma -18y a 3y.

$$-15y+270=-30$$

Resta 270 en ambos lados da ecuación.

$$-15y=-300$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=20$$

Substitúe y por 20 en x=-6y+90. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-6\times 20+90$$

Multiplica -6 por 20.

$$x=-120+90$$

Suma 90 a -120.

$$x=-30$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-30,y=20$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-6\times 3}&-\frac{6}{3-6\times 3}\\-\frac{3}{3-6\times 3}&\frac{1}{3-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 90+\frac{2}{5}\left(-30\right)\\\frac{1}{5}\times 90-\frac{1}{15}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-30,y=20$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\times 6y=3\times 90,3x+3y=-30$$

Simplifica.

$$3x+18y=270,3x+3y=-30$$

Resta 3x+3y=-30 de 3x+18y=270 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+18y-3y=270+30$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$18y-3y=270+30$$

Suma 18y a -3y.

$$15y=270+30$$

Suma 270 a 30.

$$15y=300$$

Divide ambos lados entre 15.

$$y=20$$

Substitúe y por 20 en 3x+3y=-30. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+3\times 20=-30$$

Multiplica 3 por 20.

$$3x+60=-30$$

Resta 60 en ambos lados da ecuación.

$$3x=-90$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-30$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-30,y=20$$