Resolver {l}{x+5y=5}{3x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{25}{17} = 1\frac{8}{17} \approx 1.470588235$$

$$y=\frac{12}{17}\approx 0.705882353$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+5y=5$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$x=-5y+5$$

Substitúe x por -5y+5 na outra ecuación, 3x-2y=3.

$$3\left(-5y+5\right)-2y=3$$

Multiplica 3 por -5y+5.

$$-15y+15-2y=3$$

Suma -15y a -2y.

$$-17y+15=3$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$-17y=-12$$

Divide ambos lados entre -17.

$$y=\frac{12}{17}$$

Substitúe y por \frac{12}{17} en x=-5y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5\times \frac{12}{17}+5$$

Multiplica -5 por \frac{12}{17}.

$$x=-\frac{60}{17}+5$$

Suma 5 a -\frac{60}{17}.

$$x=\frac{25}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5\times 3}&-\frac{5}{-2-5\times 3}\\-\frac{3}{-2-5\times 3}&\frac{1}{-2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{5}{17}\times 3\\\frac{3}{17}\times 5-\frac{1}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{17}\\\frac{12}{17}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\times 5y=3\times 5,3x-2y=3$$

Simplifica.

$$3x+15y=15,3x-2y=3$$

Resta 3x-2y=3 de 3x+15y=15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+15y+2y=15-3$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y+2y=15-3$$

Suma 15y a 2y.

$$17y=15-3$$

Suma 15 a -3.

$$17y=12$$

Divide ambos lados entre 17.

$$y=\frac{12}{17}$$

Substitúe y por \frac{12}{17} en 3x-2y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\times \frac{12}{17}=3$$

Multiplica -2 por \frac{12}{17}.

$$3x-\frac{24}{17}=3$$

Suma \frac{24}{17} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{75}{17}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{25}{17}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$