Resolver {l}{x+4y=7}{2x-7y=-31}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 7 } \\ { 2 x - 7 y = - 31 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+4y=7$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$x=-4y+7$$

Substitúe x por -4y+7 na outra ecuación, 2x-7y=-31.

$$2\left(-4y+7\right)-7y=-31$$

Multiplica 2 por -4y+7.

$$-8y+14-7y=-31$$

Suma -8y a -7y.

$$-15y+14=-31$$

Resta 14 en ambos lados da ecuación.

$$-15y=-45$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-4y+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4\times 3+7$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=-12+7$$

Suma 7 a -12.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-4\times 2}&-\frac{4}{-7-4\times 2}\\-\frac{2}{-7-4\times 2}&\frac{1}{-7-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}\times 7+\frac{4}{15}\left(-31\right)\\\frac{2}{15}\times 7-\frac{1}{15}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\times 4y=2\times 7,2x-7y=-31$$

Simplifica.

$$2x+8y=14,2x-7y=-31$$

Resta 2x-7y=-31 de 2x+8y=14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+8y+7y=14+31$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y+7y=14+31$$

Suma 8y a 7y.

$$15y=14+31$$

Suma 14 a 31.

$$15y=45$$

Divide ambos lados entre 15.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 2x-7y=-31. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-7\times 3=-31$$

Multiplica -7 por 3.

$$2x-21=-31$$

Suma 21 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=3$$