Resolver {l}{x+4y=5}{-2x-y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+4y=5$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$x=-4y+5$$

Substitúe x por -4y+5 na outra ecuación, -2x-y=-4.

$$-2\left(-4y+5\right)-y=-4$$

Multiplica -2 por -4y+5.

$$8y-10-y=-4$$

Suma 8y a -y.

$$7y-10=-4$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$7y=6$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=\frac{6}{7}$$

Substitúe y por \frac{6}{7} en x=-4y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4\times \frac{6}{7}+5$$

Multiplica -4 por \frac{6}{7}.

$$x=-\frac{24}{7}+5$$

Suma 5 a -\frac{24}{7}.

$$x=\frac{11}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{-1-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-1-4\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 5-\frac{4}{7}\left(-4\right)\\\frac{2}{7}\times 5+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{7}\\\frac{6}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

Para que x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-2x-2\times 4y=-2\times 5,-2x-y=-4$$

Simplifica.

$$-2x-8y=-10,-2x-y=-4$$

Resta -2x-y=-4 de -2x-8y=-10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-8y+y=-10+4$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y+y=-10+4$$

Suma -8y a y.

$$-7y=-10+4$$

Suma -10 a 4.

$$-7y=-6$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=\frac{6}{7}$$

Substitúe y por \frac{6}{7} en -2x-y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-\frac{6}{7}=-4$$

Suma \frac{6}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-\frac{22}{7}$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=\frac{11}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$