Resolver {l}{x+2y=7}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=7$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+7$$

Substitúe x por -2y+7 na outra ecuación, 4x+3y=3.

$$4\left(-2y+7\right)+3y=3$$

Multiplica 4 por -2y+7.

$$-8y+28+3y=3$$

Suma -8y a 3y.

$$-5y+28=3$$

Resta 28 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-25$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-2y+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times 5+7$$

Multiplica -2 por 5.

$$x=-10+7$$

Suma 7 a -10.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 4}&-\frac{2}{3-2\times 4}\\-\frac{4}{3-2\times 4}&\frac{1}{3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 3\\\frac{4}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=7,4x+3y=3$$

Para que x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4x+4\times 2y=4\times 7,4x+3y=3$$

Simplifica.

$$4x+8y=28,4x+3y=3$$

Resta 4x+3y=3 de 4x+8y=28 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+8y-3y=28-3$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-3y=28-3$$

Suma 8y a -3y.

$$5y=28-3$$

Suma 28 a -3.

$$5y=25$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 4x+3y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+3\times 5=3$$

Multiplica 3 por 5.

$$4x+15=3$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$4x=-12$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=5$$