Resolver {l}{x+2y=2m}{3x+5y=m-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 2 m } \\ { 3 x + 5 y = m - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-8m-2$$

$$y=5m+1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=2m$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+2m$$

Substitúe x por -2y+2m na outra ecuación, 3x+5y=m-1.

$$3\left(-2y+2m\right)+5y=m-1$$

Multiplica 3 por -2y+2m.

$$-6y+6m+5y=m-1$$

Suma -6y a 5y.

$$-y+6m=m-1$$

Resta 6m en ambos lados da ecuación.

$$-y=-5m-1$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=5m+1$$

Substitúe y por 5m+1 en x=-2y+2m. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(5m+1\right)+2m$$

Multiplica -2 por 5m+1.

$$x=-10m-2+2m$$

Suma 2m a -10m-2.

$$x=-8m-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 3}&-\frac{2}{5-2\times 3}\\-\frac{3}{5-2\times 3}&\frac{1}{5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 2m+2\left(m-1\right)\\3\times 2m-\left(m-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8m-2\\5m+1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\times 2y=3\times 2m,3x+5y=m-1$$

Simplifica.

$$3x+6y=6m,3x+5y=m-1$$

Resta 3x+5y=m-1 de 3x+6y=6m mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+6y-5y=6m+1-m$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-5y=6m+1-m$$

Suma 6y a -5y.

$$y=6m+1-m$$

Suma 6m a -m+1.

$$y=5m+1$$

Substitúe y por 1+5m en 3x+5y=m-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+5\left(5m+1\right)=m-1$$

Multiplica 5 por 1+5m.

$$3x+25m+5=m-1$$

Resta 5+25m en ambos lados da ecuación.

$$3x=-24m-6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-8m-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$