Resolver {l}{x+2y=2}{x-3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 2 } \\ { x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$y = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=2,x-3y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=2$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+2$$

Substitúe x por -2y+2 na outra ecuación, x-3y=-5.

$$-2y+2-3y=-5$$

Suma -2y a -3y.

$$-5y+2=-5$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-7$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=\frac{7}{5}$$

Substitúe y por \frac{7}{5} en x=-2y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{7}{5}+2$$

Multiplica -2 por \frac{7}{5}.

$$x=-\frac{14}{5}+2$$

Suma 2 a -\frac{14}{5}.

$$x=-\frac{4}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{4}{5},y=\frac{7}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=2,x-3y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2+\frac{2}{5}\left(-5\right)\\\frac{1}{5}\times 2-\frac{1}{5}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{4}{5},y=\frac{7}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=2,x-3y=-5$$

Resta x-3y=-5 de x+2y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+2y+3y=2+5$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+3y=2+5$$

Suma 2y a 3y.

$$5y=2+5$$

Suma 2 a 5.

$$5y=7$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=\frac{7}{5}$$

Substitúe y por \frac{7}{5} en x-3y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-3\times \frac{7}{5}=-5$$

Multiplica -3 por \frac{7}{5}.

$$x-\frac{21}{5}=-5$$

Suma \frac{21}{5} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{4}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{4}{5},y=\frac{7}{5}$$