Resolver {l}{x+2y=-2}{4y=1-3x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 2 } \\ { 4 y = 1 - 3 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$4y+3x=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=-2$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y-2$$

Substitúe x por -2y-2 na outra ecuación, 3x+4y=1.

$$3\left(-2y-2\right)+4y=1$$

Multiplica 3 por -2y-2.

$$-6y-6+4y=1$$

Suma -6y a 4y.

$$-2y-6=1$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=7$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Substitúe y por -\frac{7}{2} en x=-2y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-\frac{7}{2}\right)-2$$

Multiplica -2 por -\frac{7}{2}.

$$x=7-2$$

Suma -2 a 7.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$4y+3x=1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 3}&-\frac{2}{4-2\times 3}\\-\frac{3}{4-2\times 3}&\frac{1}{4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+1\\\frac{3}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$4y+3x=1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\times 2y=3\left(-2\right),3x+4y=1$$

Simplifica.

$$3x+6y=-6,3x+4y=1$$

Resta 3x+4y=1 de 3x+6y=-6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+6y-4y=-6-1$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-4y=-6-1$$

Suma 6y a -4y.

$$2y=-6-1$$

Suma -6 a -1.

$$2y=-7$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Substitúe y por -\frac{7}{2} en 3x+4y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\left(-\frac{7}{2}\right)=1$$

Multiplica 4 por -\frac{7}{2}.

$$3x-14=1$$

Suma 14 en ambos lados da ecuación.

$$3x=15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$