Resolver {l}{x+2y=-12}{3x-y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 12 } \\ { 3 x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=-5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=-12$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y-12$$

Substitúe x por -2y-12 na outra ecuación, 3x-y=-1.

$$3\left(-2y-12\right)-y=-1$$

Multiplica 3 por -2y-12.

$$-6y-36-y=-1$$

Suma -6y a -y.

$$-7y-36=-1$$

Suma 36 en ambos lados da ecuación.

$$-7y=35$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en x=-2y-12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-5\right)-12$$

Multiplica -2 por -5.

$$x=10-12$$

Suma -12 a 10.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\left(-1\right)\\\frac{3}{7}\left(-12\right)-\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=-5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=-12,3x-y=-1$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\times 2y=3\left(-12\right),3x-y=-1$$

Simplifica.

$$3x+6y=-36,3x-y=-1$$

Resta 3x-y=-1 de 3x+6y=-36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+6y+y=-36+1$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y+y=-36+1$$

Suma 6y a y.

$$7y=-36+1$$

Suma -36 a 1.

$$7y=-35$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en 3x-y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-\left(-5\right)=-1$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$3x=-6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-5$$