Resolver {l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

Pasos que usan substitución e fórmula cadrática

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$ty+2-x=0$$

Resta 2 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$ty-x=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

Resolve o y en ty-x=-2 mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$ty-x=-2$$

Resta -x en ambos lados da ecuación.

$$ty=x-2$$

Divide ambos lados entre t.

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

Substitúe y por \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} na outra ecuación, x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Eleva \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} ao cadrado.

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

Multiplica 4 por \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}.

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Suma x^{2} a 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}, b por 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) e c por \frac{16}{t^{2}}-4 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Eleva 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) ao cadrado.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Multiplica -4 por 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Multiplica -4-\frac{16}{t^{2}} por \frac{16}{t^{2}}-4.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Suma \frac{256}{t^{4}} a -\frac{256}{t^{4}}+16.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 16.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

Multiplica 2 por 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} se ± é máis. Suma \frac{16}{t^{2}} a 4.

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Divide 4+\frac{16}{t^{2}} entre 2+\frac{8}{t^{2}}.

$$x=2$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} se ± é menos. Resta 4 de \frac{16}{t^{2}}.

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Divide \frac{16}{t^{2}}-4 entre 2+\frac{8}{t^{2}}.

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

Hai dúas solucións para x: 2 e -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}. Substitúe x por 2 na ecuación y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} para obter a solución de y que satisfaga ambas ecuacións.

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

Multiplica \frac{1}{t} por 2.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

Agora substitúe x por -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} na ecuación y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} e resólvea para atopar a solución de y que resolva ambas ecuacións.

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

Multiplica \frac{1}{t} por -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

Resolver x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$