Resolver {l}{k(x-2)=y}{x+y-4=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { k ( x - 2 ) = y } \\ { x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1}$$

$$y=\frac{2k}{k+1}$$

$$k\neq -1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar k por x-2.

$$kx-2k=y$$

Resta y en ambos lados.

$$kx-2k-y=0$$

Engadir 2k en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$kx-y=2k$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 4 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x+y=4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$kx-y=2k,x+y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$kx-y=2k$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$kx=y+2k$$

Divide ambos lados entre k.

$$x=\frac{1}{k}\left(y+2k\right)$$

Multiplica \frac{1}{k} por y+2k.

$$x=\frac{1}{k}y+2$$

Substitúe x por 2+\frac{y}{k} na outra ecuación, x+y=4.

$$\frac{1}{k}y+2+y=4$$

Suma \frac{y}{k} a y.

$$\left(1+\frac{1}{k}\right)y+2=4$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$\left(1+\frac{1}{k}\right)y=2$$

Divide ambos lados entre 1+\frac{1}{k}.

$$y=\frac{2k}{k+1}$$

Substitúe y por \frac{2k}{1+k} en x=\frac{1}{k}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{k}\times \frac{2k}{k+1}+2$$

Multiplica \frac{1}{k} por \frac{2k}{1+k}.

$$x=\frac{2}{k+1}+2$$

Suma 2 a \frac{2}{1+k}.

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1},y=\frac{2k}{k+1}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar k por x-2.

$$kx-2k=y$$

Resta y en ambos lados.

$$kx-2k-y=0$$

Engadir 2k en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$kx-y=2k$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 4 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x+y=4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$kx-y=2k,x+y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{k-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{k-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{k-\left(-1\right)}&\frac{k}{k-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{k+1}&\frac{1}{k+1}\\-\frac{1}{k+1}&\frac{k}{k+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2k\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{k+1}\times 2k+\frac{1}{k+1}\times 4\\\left(-\frac{1}{k+1}\right)\times 2k+\frac{k}{k+1}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2\left(k+2\right)}{k+1}\\\frac{2k}{k+1}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1},y=\frac{2k}{k+1}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar k por x-2.

$$kx-2k=y$$

Resta y en ambos lados.

$$kx-2k-y=0$$

Engadir 2k en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$kx-y=2k$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 4 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x+y=4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$kx-y=2k,x+y=4$$

Para que kx e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por k.

$$kx-y=2k,kx+ky=k\times 4$$

Simplifica.

$$kx-y=2k,kx+ky=4k$$

Resta kx+ky=4k de kx-y=2k mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$kx+\left(-k\right)x-y+\left(-k\right)y=2k-4k$$

Suma kx a -kx. kx e -kx anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y+\left(-k\right)y=2k-4k$$

Suma -y a -ky.

$$\left(-k-1\right)y=2k-4k$$

Suma 2k a -4k.

$$\left(-k-1\right)y=-2k$$

Divide ambos lados entre -1-k.

$$y=\frac{2k}{k+1}$$

Substitúe y por \frac{2k}{1+k} en x+y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+\frac{2k}{k+1}=4$$

Resta \frac{2k}{1+k} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{2\left(k+2\right)}{k+1},y=\frac{2k}{k+1}$$