Resolver {l}{ax+by=e}{cx+dy=f}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = e } \\ { c x + d y = f } \end{array} \right.$$

Resolver x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$ax+by=e$$

Resta by en ambos lados da ecuación.

$$ax=\left(-b\right)y+e$$

Divide ambos lados entre a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)$$

Multiplica \frac{1}{a} por -by+e.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}$$

Substitúe x por \frac{-by+e}{a} na outra ecuación, cx+dy=f.

$$c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f$$

Multiplica c por \frac{-by+e}{a}.

$$\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f$$

Suma -\frac{cby}{a} a dy.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f$$

Resta \frac{ce}{a} en ambos lados da ecuación.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}$$

Divide ambos lados entre d-\frac{cb}{a}.

$$y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Substitúe y por \frac{fa-ce}{da-cb} en x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}$$

Multiplica -\frac{b}{a} por \frac{fa-ce}{da-cb}.

$$x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}$$

Suma \frac{e}{a} a -\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)}.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Para que ax e cx sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por c e todos os termos a cada lado da segunda por a.

$$cax+cby=ce,acx+ady=af$$

Simplifica.

$$acx+bcy=ec,acx+ady=af$$

Resta acx+ady=af de acx+bcy=ec mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Suma cax a -cax. cax e -cax anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Suma cby a -ady.

$$\left(bc-ad\right)y=ec-af$$

Divide ambos lados entre cb-ad.

$$y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

Substitúe y por \frac{ce-af}{cb-ad} en cx+dy=f. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f$$

Multiplica d por \frac{ce-af}{cb-ad}.

$$cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f$$

Resta \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad} en ambos lados da ecuación.

$$cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}$$

Divide ambos lados entre c.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

Resolver x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$ax+by=e$$

Resta by en ambos lados da ecuación.

$$ax=\left(-b\right)y+e$$

Divide ambos lados entre a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)$$

Multiplica \frac{1}{a} por -by+e.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}$$

Substitúe x por \frac{-by+e}{a} na outra ecuación, cx+dy=f.

$$c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f$$

Multiplica c por \frac{-by+e}{a}.

$$\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f$$

Suma -\frac{cby}{a} a dy.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f$$

Resta \frac{ce}{a} en ambos lados da ecuación.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}$$

Divide ambos lados entre d-\frac{cb}{a}.

$$y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Substitúe y por \frac{fa-ce}{da-cb} en x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}$$

Multiplica -\frac{b}{a} por \frac{fa-ce}{da-cb}.

$$x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}$$

Suma \frac{e}{a} a -\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)}.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Para que ax e cx sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por c e todos os termos a cada lado da segunda por a.

$$cax+cby=ce,acx+ady=af$$

Simplifica.

$$acx+bcy=ec,acx+ady=af$$

Resta acx+ady=af de acx+bcy=ec mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Suma cax a -cax. cax e -cax anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Suma cby a -ady.

$$\left(bc-ad\right)y=ec-af$$

Divide ambos lados entre cb-ad.

$$y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

Substitúe y por \frac{ce-af}{cb-ad} en cx+dy=f. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f$$

Multiplica d por \frac{ce-af}{cb-ad}.

$$cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f$$

Resta \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad} en ambos lados da ecuación.

$$cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}$$

Divide ambos lados entre c.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$