Resolver {l}{a-b=10-0}{3a-4b=33-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a - b = 10 - 0 } \\ { 3 a - 4 b = 33 - 8 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=15$$

$$b=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$a-b=10,3a-4b=25$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$a-b=10$$

Suma b en ambos lados da ecuación.

$$a=b+10$$

Substitúe a por b+10 na outra ecuación, 3a-4b=25.

$$3\left(b+10\right)-4b=25$$

Multiplica 3 por b+10.

$$3b+30-4b=25$$

Suma 3b a -4b.

$$-b+30=25$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$-b=-5$$

Divide ambos lados entre -1.

$$b=5$$

Substitúe b por 5 en a=b+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=5+10$$

Suma 10 a 5.

$$a=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=15,b=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$a-b=10,3a-4b=25$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\25\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\25\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\25\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\25\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 10-25\\3\times 10-25\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=15,b=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$a-b=10,3a-4b=25$$

Para que a e 3a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3a+3\left(-1\right)b=3\times 10,3a-4b=25$$

Simplifica.

$$3a-3b=30,3a-4b=25$$

Resta 3a-4b=25 de 3a-3b=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3a-3a-3b+4b=30-25$$

Suma 3a a -3a. 3a e -3a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3b+4b=30-25$$

Suma -3b a 4b.

$$b=30-25$$

Suma 30 a -25.

$$b=5$$

Substitúe b por 5 en 3a-4b=25. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$3a-4\times 5=25$$

Multiplica -4 por 5.

$$3a-20=25$$

Suma 20 en ambos lados da ecuación.

$$3a=45$$

Divide ambos lados entre 3.

$$a=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=15,b=5$$