Resolver {l}{a+5b=2}{a-2b=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 5 b = 2 } \\ { a - 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

$$b=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$a+5b=2$$

Resta 5b en ambos lados da ecuación.

$$a=-5b+2$$

Substitúe a por -5b+2 na outra ecuación, a-2b=1.

$$-5b+2-2b=1$$

Suma -5b a -2b.

$$-7b+2=1$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-7b=-1$$

Divide ambos lados entre -7.

$$b=\frac{1}{7}$$

Substitúe b por \frac{1}{7} en a=-5b+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-5\times \frac{1}{7}+2$$

Multiplica -5 por \frac{1}{7}.

$$a=-\frac{5}{7}+2$$

Suma 2 a -\frac{5}{7}.

$$a=\frac{9}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}\times 2-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}\\\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

Resta a-2b=1 de a+5b=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$a-a+5b+2b=2-1$$

Suma a a -a. a e -a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5b+2b=2-1$$

Suma 5b a 2b.

$$7b=2-1$$

Suma 2 a -1.

$$7b=1$$

Divide ambos lados entre 7.

$$b=\frac{1}{7}$$

Substitúe b por \frac{1}{7} en a-2b=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a-2\times \frac{1}{7}=1$$

Multiplica -2 por \frac{1}{7}.

$$a-\frac{2}{7}=1$$

Suma \frac{2}{7} en ambos lados da ecuación.

$$a=\frac{9}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$