Resolver {l}{a+4b=8}{3b=5-a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 4 b = 8 } \\ { 3 b = 5 - a } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=-4$$

$$b=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir a en ambos lados.

$$3b+a=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$a+4b=8$$

Resta 4b en ambos lados da ecuación.

$$a=-4b+8$$

Substitúe a por -4b+8 na outra ecuación, a+3b=5.

$$-4b+8+3b=5$$

Suma -4b a 3b.

$$-b+8=5$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$-b=-3$$

Divide ambos lados entre -1.

$$b=3$$

Substitúe b por 3 en a=-4b+8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-4\times 3+8$$

Multiplica -4 por 3.

$$a=-12+8$$

Suma 8 a -12.

$$a=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-4,b=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir a en ambos lados.

$$3b+a=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{1}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 8+4\times 5\\8-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=-4,b=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir a en ambos lados.

$$3b+a=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Resta a+3b=5 de a+4b=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$a-a+4b-3b=8-5$$

Suma a a -a. a e -a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4b-3b=8-5$$

Suma 4b a -3b.

$$b=8-5$$

Suma 8 a -5.

$$b=3$$

Substitúe b por 3 en a+3b=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a+3\times 3=5$$

Multiplica 3 por 3.

$$a+9=5$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$a=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-4,b=3$$