Resolver {l}{a+3b=6}{a-6b=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 3 b = 6 } \\ { a - 6 b = 12 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=8$$

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$a+3b=6,a-6b=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$a+3b=6$$

Resta 3b en ambos lados da ecuación.

$$a=-3b+6$$

Substitúe a por -3b+6 na outra ecuación, a-6b=12.

$$-3b+6-6b=12$$

Suma -3b a -6b.

$$-9b+6=12$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-9b=6$$

Divide ambos lados entre -9.

$$b=-\frac{2}{3}$$

Substitúe b por -\frac{2}{3} en a=-3b+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-3\left(-\frac{2}{3}\right)+6$$

Multiplica -3 por -\frac{2}{3}.

$$a=2+6$$

Suma 6 a 2.

$$a=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$a+3b=6,a-6b=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-3}&-\frac{3}{-6-3}\\-\frac{1}{-6-3}&\frac{1}{-6-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{3}\times 12\\\frac{1}{9}\times 6-\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$a+3b=6,a-6b=12$$

Resta a-6b=12 de a+3b=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$a-a+3b+6b=6-12$$

Suma a a -a. a e -a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3b+6b=6-12$$

Suma 3b a 6b.

$$9b=6-12$$

Suma 6 a -12.

$$9b=-6$$

Divide ambos lados entre 9.

$$b=-\frac{2}{3}$$

Substitúe b por -\frac{2}{3} en a-6b=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a-6\left(-\frac{2}{3}\right)=12$$

Multiplica -6 por -\frac{2}{3}.

$$a+4=12$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$a=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$