Resolver {l}{9x-4y=8}{6x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 8 } \\ { 6 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x-4y=8$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$9x=4y+8$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por 8+4y.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}$$

Substitúe x por \frac{8+4y}{9} na outra ecuación, 6x-2y=3.

$$6\left(\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}\right)-2y=3$$

Multiplica 6 por \frac{8+4y}{9}.

$$\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}-2y=3$$

Suma \frac{8y}{3} a -2y.

$$\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}=3$$

Resta \frac{16}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Substitúe y por -\frac{7}{2} en x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{9}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{8}{9}$$

Multiplica \frac{4}{9} por -\frac{7}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{-14+8}{9}$$

Suma \frac{8}{9} a -\frac{14}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{2}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{9}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 8+\frac{2}{3}\times 3\\-8+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Para que 9x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$6\times 9x+6\left(-4\right)y=6\times 8,9\times 6x+9\left(-2\right)y=9\times 3$$

Simplifica.

$$54x-24y=48,54x-18y=27$$

Resta 54x-18y=27 de 54x-24y=48 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$54x-54x-24y+18y=48-27$$

Suma 54x a -54x. 54x e -54x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-24y+18y=48-27$$

Suma -24y a 18y.

$$-6y=48-27$$

Suma 48 a -27.

$$-6y=21$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Substitúe y por -\frac{7}{2} en 6x-2y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x-2\left(-\frac{7}{2}\right)=3$$

Multiplica -2 por -\frac{7}{2}.

$$6x+7=3$$

Resta 7 en ambos lados da ecuación.

$$6x=-4$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=-\frac{2}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$