Resolver {l}{9x+y=31}{5x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + y = 31 } \\ { 5 x - y = 11 } \end{array} \right\}$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x+y=31,5x-y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x+y=31$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$9x=-y+31$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+31\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por -y+31.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}$$

Substitúe x por \frac{-y+31}{9} na outra ecuación, 5x-y=11.

$$5\left(-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}\right)-y=11$$

Multiplica 5 por \frac{-y+31}{9}.

$$-\frac{5}{9}y+\frac{155}{9}-y=11$$

Suma -\frac{5y}{9} a -y.

$$-\frac{14}{9}y+\frac{155}{9}=11$$

Resta \frac{155}{9} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{14}{9}y=-\frac{56}{9}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{14}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{9}\times 4+\frac{31}{9}$$

Multiplica -\frac{1}{9} por 4.

$$x=\frac{-4+31}{9}$$

Suma \frac{31}{9} a -\frac{4}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x+y=31,5x-y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{9\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{9\left(-1\right)-5}&\frac{9}{9\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\\\frac{5}{14}&-\frac{9}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 31+\frac{1}{14}\times 11\\\frac{5}{14}\times 31-\frac{9}{14}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x+y=31,5x-y=11$$

Para que 9x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$5\times 9x+5y=5\times 31,9\times 5x+9\left(-1\right)y=9\times 11$$

Simplifica.

$$45x+5y=155,45x-9y=99$$

Resta 45x-9y=99 de 45x+5y=155 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$45x-45x+5y+9y=155-99$$

Suma 45x a -45x. 45x e -45x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y+9y=155-99$$

Suma 5y a 9y.

$$14y=155-99$$

Suma 155 a -99.

$$14y=56$$

Divide ambos lados entre 14.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 5x-y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-4=11$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$5x=15$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=4$$