Resolver {l}{9x+2y=62}{4x+4y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7} \approx 6.285714286$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x+2y=62$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$9x=-2y+62$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por -2y+62.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

Substitúe x por \frac{-2y+62}{9} na outra ecuación, 4x+4y=36.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+4y=36$$

Multiplica 4 por \frac{-2y+62}{9}.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+4y=36$$

Suma -\frac{8y}{9} a 4y.

$$\frac{28}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

Resta \frac{248}{9} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{28}{9}y=\frac{76}{9}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{28}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{19}{7}$$

Substitúe y por \frac{19}{7} en x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{19}{7}+\frac{62}{9}$$

Multiplica -\frac{2}{9} por \frac{19}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{38}{63}+\frac{62}{9}$$

Suma \frac{62}{9} a -\frac{38}{63} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{44}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 4-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&\frac{9}{9\times 4-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 62-\frac{1}{14}\times 36\\-\frac{1}{7}\times 62+\frac{9}{28}\times 36\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

Para que 9x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 4y=9\times 36$$

Simplifica.

$$36x+8y=248,36x+36y=324$$

Resta 36x+36y=324 de 36x+8y=248 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$36x-36x+8y-36y=248-324$$

Suma 36x a -36x. 36x e -36x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-36y=248-324$$

Suma 8y a -36y.

$$-28y=248-324$$

Suma 248 a -324.

$$-28y=-76$$

Divide ambos lados entre -28.

$$y=\frac{19}{7}$$

Substitúe y por \frac{19}{7} en 4x+4y=36. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+4\times \frac{19}{7}=36$$

Multiplica 4 por \frac{19}{7}.

$$4x+\frac{76}{7}=36$$

Resta \frac{76}{7} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{176}{7}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{44}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$