Resolver {l}{9x+2y+6=0}{x+y-4=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y + 6 = 0 } \\ { x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x+2y+6=0,x+y-4=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x+2y+6=0$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$9x+2y=-6$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$9x=-2y-6$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y-6\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por -2y-6.

$$x=-\frac{2}{9}y-\frac{2}{3}$$

Substitúe x por -\frac{2y}{9}-\frac{2}{3} na outra ecuación, x+y-4=0.

$$-\frac{2}{9}y-\frac{2}{3}+y-4=0$$

Suma -\frac{2y}{9} a y.

$$\frac{7}{9}y-\frac{2}{3}-4=0$$

Suma -\frac{2}{3} a -4.

$$\frac{7}{9}y-\frac{14}{3}=0$$

Suma \frac{14}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{9}y=\frac{14}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-\frac{2}{9}y-\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{9}\times 6-\frac{2}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{9} por 6.

$$x=\frac{-4-2}{3}$$

Suma -\frac{2}{3} a -\frac{4}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x+2y+6=0,x+y-4=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-2}&-\frac{2}{9-2}\\-\frac{1}{9-2}&\frac{9}{9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-6\right)-\frac{2}{7}\times 4\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{9}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x+2y+6=0,x+y-4=0$$

Para que 9x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$9x+2y+6=0,9x+9y+9\left(-4\right)=0$$

Simplifica.

$$9x+2y+6=0,9x+9y-36=0$$

Resta 9x+9y-36=0 de 9x+2y+6=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$9x-9x+2y-9y+6+36=0$$

Suma 9x a -9x. 9x e -9x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-9y+6+36=0$$

Suma 2y a -9y.

$$-7y+6+36=0$$

Suma 6 a 36.

$$-7y+42=0$$

Resta 42 en ambos lados da ecuación.

$$-7y=-42$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x+y-4=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+6-4=0$$

Suma 6 a -4.

$$x+2=0$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=6$$