Resolver {l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m=1$$

$$n=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$9m-13n=22$$

Suma 13n en ambos lados da ecuación.

$$9m=13n+22$$

Divide ambos lados entre 9.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por 13n+22.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

Substitúe m por \frac{13n+22}{9} na outra ecuación, 2m+3n=-1.

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

Multiplica 2 por \frac{13n+22}{9}.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

Suma \frac{26n}{9} a 3n.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

Resta \frac{44}{9} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{53}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$n=-1$$

Substitúe n por -1 en m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

Multiplica \frac{13}{9} por -1.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

Suma \frac{22}{9} a -\frac{13}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=1,n=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=1,n=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Para que 9m e 2m sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

Resta 18m+27n=-9 de 18m-26n=44 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

Suma 18m a -18m. 18m e -18m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-26n-27n=44+9$$

Suma -26n a -27n.

$$-53n=44+9$$

Suma 44 a 9.

$$-53n=53$$

Divide ambos lados entre -53.

$$n=-1$$

Substitúe n por -1 en 2m+3n=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

Multiplica 3 por -1.

$$2m-3=-1$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$2m=2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$m=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=1,n=-1$$