Resolver {l}{8x-4y=2}{2x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{15}{16}=0.9375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x-4y=2$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$8x=4y+2$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(4y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por 4y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}$$

Substitúe x por \frac{y}{2}+\frac{1}{4} na outra ecuación, 2x+3y=6.

$$2\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+3y=6$$

Multiplica 2 por \frac{y}{2}+\frac{1}{4}.

$$y+\frac{1}{2}+3y=6$$

Suma y a 3y.

$$4y+\frac{1}{2}=6$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$4y=\frac{11}{2}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=\frac{11}{8}$$

Substitúe y por \frac{11}{8} en x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{1}{4}$$

Multiplica \frac{1}{2} por \frac{11}{8} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{11}{16}+\frac{1}{4}$$

Suma \frac{1}{4} a \frac{11}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{15}{16}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}\times 2+\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 2+\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

Para que 8x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$2\times 8x+2\left(-4\right)y=2\times 2,8\times 2x+8\times 3y=8\times 6$$

Simplifica.

$$16x-8y=4,16x+24y=48$$

Resta 16x+24y=48 de 16x-8y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$16x-16x-8y-24y=4-48$$

Suma 16x a -16x. 16x e -16x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y-24y=4-48$$

Suma -8y a -24y.

$$-32y=4-48$$

Suma 4 a -48.

$$-32y=-44$$

Divide ambos lados entre -32.

$$y=\frac{11}{8}$$

Substitúe y por \frac{11}{8} en 2x+3y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\times \frac{11}{8}=6$$

Multiplica 3 por \frac{11}{8}.

$$2x+\frac{33}{8}=6$$

Resta \frac{33}{8} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{15}{8}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{15}{16}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$