Resolver {l}{8x+20y=11400}{10x+30y=22500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 20 y = 11400 } \\ { 10 x + 30 y = 22500 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2700$$

$$y=1650$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x+20y=11400$$

Resta 20y en ambos lados da ecuación.

$$8x=-20y+11400$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-20y+11400\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por -20y+11400.

$$x=-\frac{5}{2}y+1425$$

Substitúe x por -\frac{5y}{2}+1425 na outra ecuación, 10x+30y=22500.

$$10\left(-\frac{5}{2}y+1425\right)+30y=22500$$

Multiplica 10 por -\frac{5y}{2}+1425.

$$-25y+14250+30y=22500$$

Suma -25y a 30y.

$$5y+14250=22500$$

Resta 14250 en ambos lados da ecuación.

$$5y=8250$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=1650$$

Substitúe y por 1650 en x=-\frac{5}{2}y+1425. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}\times 1650+1425$$

Multiplica -\frac{5}{2} por 1650.

$$x=-4125+1425$$

Suma 1425 a -4125.

$$x=-2700$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2700,y=1650$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{8\times 30-20\times 10}&-\frac{20}{8\times 30-20\times 10}\\-\frac{10}{8\times 30-20\times 10}&\frac{8}{8\times 30-20\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 11400-\frac{1}{2}\times 22500\\-\frac{1}{4}\times 11400+\frac{1}{5}\times 22500\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2700\\1650\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2700,y=1650$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

Para que 8x e 10x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 10 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$10\times 8x+10\times 20y=10\times 11400,8\times 10x+8\times 30y=8\times 22500$$

Simplifica.

$$80x+200y=114000,80x+240y=180000$$

Resta 80x+240y=180000 de 80x+200y=114000 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$80x-80x+200y-240y=114000-180000$$

Suma 80x a -80x. 80x e -80x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$200y-240y=114000-180000$$

Suma 200y a -240y.

$$-40y=114000-180000$$

Suma 114000 a -180000.

$$-40y=-66000$$

Divide ambos lados entre -40.

$$y=1650$$

Substitúe y por 1650 en 10x+30y=22500. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$10x+30\times 1650=22500$$

Multiplica 30 por 1650.

$$10x+49500=22500$$

Resta 49500 en ambos lados da ecuación.

$$10x=-27000$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=-2700$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2700,y=1650$$