Resolver {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

Resolver k, a

$$k=-500$$

$$a=7650$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a k mediante o illamento de k no lado esquerdo do signo igual.

$$8k+a=3650$$

Resta a en ambos lados da ecuación.

$$8k=-a+3650$$

Divide ambos lados entre 8.

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por -a+3650.

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

Substitúe k por -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} na outra ecuación, 15k+a=150.

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

Multiplica 15 por -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}.

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

Suma -\frac{15a}{8} a a.

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

Resta \frac{27375}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{8}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$a=7650$$

Substitúe a por 7650 en k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar k directamente.

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

Multiplica -\frac{1}{8} por 7650.

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

Suma \frac{1825}{4} a -\frac{3825}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$k=-500$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=-500,a=7650$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz k e a.

$$k=-500,a=7650$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Resta 15k+a=150 de 8k+a=3650 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

Suma a a -a. a e -a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8k-15k=3650-150$$

Suma 8k a -15k.

$$-7k=3650-150$$

Suma 3650 a -150.

$$-7k=3500$$

Divide ambos lados entre -7.

$$k=-500$$

Substitúe k por -500 en 15k+a=150. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$15\left(-500\right)+a=150$$

Multiplica 15 por -500.

$$-7500+a=150$$

Suma 7500 en ambos lados da ecuación.

$$a=7650$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=-500,a=7650$$