Resolver {l}{7x-8y=9}{4x-13y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x - 13 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{197}{59} = 3\frac{20}{59} \approx 3.338983051$$

$$y = \frac{106}{59} = 1\frac{47}{59} \approx 1.796610169$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x-8y=9$$

Suma 8y en ambos lados da ecuación.

$$7x=8y+9$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por 8y+9.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

Substitúe x por \frac{8y+9}{7} na outra ecuación, 4x-13y=-10.

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)-13y=-10$$

Multiplica 4 por \frac{8y+9}{7}.

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}-13y=-10$$

Suma \frac{32y}{7} a -13y.

$$-\frac{59}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

Resta \frac{36}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{59}{7}y=-\frac{106}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{59}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{106}{59}$$

Substitúe y por \frac{106}{59} en x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{106}{59}+\frac{9}{7}$$

Multiplica \frac{8}{7} por \frac{106}{59} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{848}{413}+\frac{9}{7}$$

Suma \frac{9}{7} a \frac{848}{413} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{197}{59}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}&-\frac{8}{59}\\\frac{4}{59}&-\frac{7}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}\times 9-\frac{8}{59}\left(-10\right)\\\frac{4}{59}\times 9-\frac{7}{59}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{197}{59}\\\frac{106}{59}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Para que 7x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\left(-13\right)y=7\left(-10\right)$$

Simplifica.

$$28x-32y=36,28x-91y=-70$$

Resta 28x-91y=-70 de 28x-32y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$28x-28x-32y+91y=36+70$$

Suma 28x a -28x. 28x e -28x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-32y+91y=36+70$$

Suma -32y a 91y.

$$59y=36+70$$

Suma 36 a 70.

$$59y=106$$

Divide ambos lados entre 59.

$$y=\frac{106}{59}$$

Substitúe y por \frac{106}{59} en 4x-13y=-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-13\times \frac{106}{59}=-10$$

Multiplica -13 por \frac{106}{59}.

$$4x-\frac{1378}{59}=-10$$

Suma \frac{1378}{59} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{788}{59}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{197}{59}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$