Resolver {l}{7x+3y=43}{4x-3y=67}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 43 } \\ { 4 x - 3 y = 67 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=-9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+3y=43$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-3y+43$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+43\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -3y+43.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}$$

Substitúe x por \frac{-3y+43}{7} na outra ecuación, 4x-3y=67.

$$4\left(-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}\right)-3y=67$$

Multiplica 4 por \frac{-3y+43}{7}.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{172}{7}-3y=67$$

Suma -\frac{12y}{7} a -3y.

$$-\frac{33}{7}y+\frac{172}{7}=67$$

Resta \frac{172}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{33}{7}y=\frac{297}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{33}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-9$$

Substitúe y por -9 en x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{43}{7}$$

Multiplica -\frac{3}{7} por -9.

$$x=\frac{27+43}{7}$$

Suma \frac{43}{7} a \frac{27}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=-9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{4}{33}&-\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 43+\frac{1}{11}\times 67\\\frac{4}{33}\times 43-\frac{7}{33}\times 67\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=-9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Para que 7x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$4\times 7x+4\times 3y=4\times 43,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 67$$

Simplifica.

$$28x+12y=172,28x-21y=469$$

Resta 28x-21y=469 de 28x+12y=172 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$28x-28x+12y+21y=172-469$$

Suma 28x a -28x. 28x e -28x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y+21y=172-469$$

Suma 12y a 21y.

$$33y=172-469$$

Suma 172 a -469.

$$33y=-297$$

Divide ambos lados entre 33.

$$y=-9$$

Substitúe y por -9 en 4x-3y=67. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-3\left(-9\right)=67$$

Multiplica -3 por -9.

$$4x+27=67$$

Resta 27 en ambos lados da ecuación.

$$4x=40$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=-9$$