Resolver {l}{7x+2y=24}{8x+2y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { 8 x + 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=-9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+2y=24$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-2y+24$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Substitúe x por \frac{-2y+24}{7} na outra ecuación, 8x+2y=30.

$$8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=30$$

Multiplica 8 por \frac{-2y+24}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{192}{7}+2y=30$$

Suma -\frac{16y}{7} a 2y.

$$-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}=30$$

Resta \frac{192}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{2}{7}y=\frac{18}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-9$$

Substitúe y por -9 en x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{24}{7}$$

Multiplica -\frac{2}{7} por -9.

$$x=\frac{18+24}{7}$$

Suma \frac{24}{7} a \frac{18}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\times 8}&-\frac{2}{7\times 2-2\times 8}\\-\frac{8}{7\times 2-2\times 8}&\frac{7}{7\times 2-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\4&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24+30\\4\times 24-\frac{7}{2}\times 30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=-9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Resta 8x+2y=30 de 7x+2y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x-8x+2y-2y=24-30$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7x-8x=24-30$$

Suma 7x a -8x.

$$-x=24-30$$

Suma 24 a -30.

$$-x=-6$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=6$$

Substitúe x por 6 en 8x+2y=30. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$8\times 6+2y=30$$

Multiplica 8 por 6.

$$48+2y=30$$

Resta 48 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-18$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-9$$