Resolver {l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Suma -6 e 5 para obter -1.

$$2x-1=y-1$$

Resta y en ambos lados.

$$2x-1-y=-1$$

Engadir 1 en ambos lados.

$$2x-y=-1+1$$

Suma -1 e 1 para obter 0.

$$2x-y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+18y=43$$

Resta 18y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-18y+43$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -18y+43.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

Substitúe x por \frac{-18y+43}{7} na outra ecuación, 2x-y=0.

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

Multiplica 2 por \frac{-18y+43}{7}.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

Suma -\frac{36y}{7} a -y.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

Resta \frac{86}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{43}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

Multiplica -\frac{18}{7} por 2.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

Suma \frac{43}{7} a -\frac{36}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Suma -6 e 5 para obter -1.

$$2x-1=y-1$$

Resta y en ambos lados.

$$2x-1-y=-1$$

Engadir 1 en ambos lados.

$$2x-y=-1+1$$

Suma -1 e 1 para obter 0.

$$2x-y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-3.

$$2x-6+5=y-1$$

Suma -6 e 5 para obter -1.

$$2x-1=y-1$$

Resta y en ambos lados.

$$2x-1-y=-1$$

Engadir 1 en ambos lados.

$$2x-y=-1+1$$

Suma -1 e 1 para obter 0.

$$2x-y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Para que 7x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

Simplifica.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

Resta 14x-7y=0 de 14x+36y=86 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

Suma 14x a -14x. 14x e -14x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$36y+7y=86$$

Suma 36y a 7y.

$$43y=86$$

Divide ambos lados entre 43.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 2x-y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-2=0$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$2x=2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$