Resolver {l}{7n+46=a}{11n+2=a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 n + 46 = a } \\ { 11 n + 2 = a } \end{array} \right.$$

Resolver n, a

$$n=11$$

$$a=123$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta a en ambos lados.

$$7n+46-a=0$$

Resta 46 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$7n-a=-46$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta a en ambos lados.

$$11n+2-a=0$$

Resta 2 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$11n-a=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a n mediante o illamento de n no lado esquerdo do signo igual.

$$7n-a=-46$$

Suma a en ambos lados da ecuación.

$$7n=a-46$$

Divide ambos lados entre 7.

$$n=\frac{1}{7}\left(a-46\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por a-46.

$$n=\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}$$

Substitúe n por \frac{-46+a}{7} na outra ecuación, 11n-a=-2.

$$11\left(\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}\right)-a=-2$$

Multiplica 11 por \frac{-46+a}{7}.

$$\frac{11}{7}a-\frac{506}{7}-a=-2$$

Suma \frac{11a}{7} a -a.

$$\frac{4}{7}a-\frac{506}{7}=-2$$

Suma \frac{506}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{4}{7}a=\frac{492}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{4}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$a=123$$

Substitúe a por 123 en n=\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar n directamente.

$$n=\frac{1}{7}\times 123-\frac{46}{7}$$

Multiplica \frac{1}{7} por 123.

$$n=\frac{123-46}{7}$$

Suma -\frac{46}{7} a \frac{123}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$n=11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$n=11,a=123$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta a en ambos lados.

$$7n+46-a=0$$

Resta 46 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$7n-a=-46$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta a en ambos lados.

$$11n+2-a=0$$

Resta 2 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$11n-a=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-46\right)+\frac{1}{4}\left(-2\right)\\-\frac{11}{4}\left(-46\right)+\frac{7}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\123\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz n e a.

$$n=11,a=123$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta a en ambos lados.

$$7n+46-a=0$$

Resta 46 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$7n-a=-46$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta a en ambos lados.

$$11n+2-a=0$$

Resta 2 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$11n-a=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

Resta 11n-a=-2 de 7n-a=-46 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7n-11n-a+a=-46+2$$

Suma -a a a. -a e a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7n-11n=-46+2$$

Suma 7n a -11n.

$$-4n=-46+2$$

Suma -46 a 2.

$$-4n=-44$$

Divide ambos lados entre -4.

$$n=11$$

Substitúe n por 11 en 11n-a=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$11\times 11-a=-2$$

Multiplica 11 por 11.

$$121-a=-2$$

Resta 121 en ambos lados da ecuación.

$$-a=-123$$

Divide ambos lados entre -1.

$$a=123$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$n=11,a=123$$