Resolver {l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=-2$$

$$b=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$7a-10b=-64$$

Suma 10b en ambos lados da ecuación.

$$7a=10b-64$$

Divide ambos lados entre 7.

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por 10b-64.

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

Substitúe a por \frac{10b-64}{7} na outra ecuación, 3a+5b=19.

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

Multiplica 3 por \frac{10b-64}{7}.

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

Suma \frac{30b}{7} a 5b.

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

Suma \frac{192}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{65}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=5$$

Substitúe b por 5 en a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

Multiplica \frac{10}{7} por 5.

$$a=\frac{50-64}{7}$$

Suma -\frac{64}{7} a \frac{50}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-2,b=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=-2,b=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Para que 7a e 3a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

Simplifica.

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

Resta 21a+35b=133 de 21a-30b=-192 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

Suma 21a a -21a. 21a e -21a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-30b-35b=-192-133$$

Suma -30b a -35b.

$$-65b=-192-133$$

Suma -192 a -133.

$$-65b=-325$$

Divide ambos lados entre -65.

$$b=5$$

Substitúe b por 5 en 3a+5b=19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$3a+5\times 5=19$$

Multiplica 5 por 5.

$$3a+25=19$$

Resta 25 en ambos lados da ecuación.

$$3a=-6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$a=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-2,b=5$$