Resolver {l}{6x-4y=30}{2x+6y=-34}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 4 y = 30 } \\ { 2 x + 6 y = - 34 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x-4y=30$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$6x=4y+30$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(4y+30\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por 4y+30.

$$x=\frac{2}{3}y+5$$

Substitúe x por \frac{2y}{3}+5 na outra ecuación, 2x+6y=-34.

$$2\left(\frac{2}{3}y+5\right)+6y=-34$$

Multiplica 2 por \frac{2y}{3}+5.

$$\frac{4}{3}y+10+6y=-34$$

Suma \frac{4y}{3} a 6y.

$$\frac{22}{3}y+10=-34$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{22}{3}y=-44$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{22}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x=\frac{2}{3}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\left(-6\right)+5$$

Multiplica \frac{2}{3} por -6.

$$x=-4+5$$

Suma 5 a -4.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-4\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}&\frac{6}{6\times 6-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-34\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 30+\frac{1}{11}\left(-34\right)\\-\frac{1}{22}\times 30+\frac{3}{22}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x-4y=30,2x+6y=-34$$

Para que 6x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$2\times 6x+2\left(-4\right)y=2\times 30,6\times 2x+6\times 6y=6\left(-34\right)$$

Simplifica.

$$12x-8y=60,12x+36y=-204$$

Resta 12x+36y=-204 de 12x-8y=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x-8y-36y=60+204$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y-36y=60+204$$

Suma -8y a -36y.

$$-44y=60+204$$

Suma 60 a 204.

$$-44y=264$$

Divide ambos lados entre -44.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en 2x+6y=-34. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+6\left(-6\right)=-34$$

Multiplica 6 por -6.

$$2x-36=-34$$

Suma 36 en ambos lados da ecuación.

$$2x=2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-6$$