Resolver {l}{6x-2y=4}{y=5x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 2 y = 4 } \\ { y = 5 x + 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x-2y=4$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$6x=2y+4$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por 4+2y.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Substitúe x por \frac{2+y}{3} na outra ecuación, -5x+y=3.

$$-5\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y=3$$

Multiplica -5 por \frac{2+y}{3}.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}+y=3$$

Suma -\frac{5y}{3} a y.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}=3$$

Suma \frac{10}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{19}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{19}{2}$$

Substitúe y por -\frac{19}{2} en x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{19}{2}\right)+\frac{2}{3}$$

Multiplica \frac{1}{3} por -\frac{19}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{2}{3}$$

Suma \frac{2}{3} a -\frac{19}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 4-\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{19}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

Para que 6x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$-5\times 6x-5\left(-2\right)y=-5\times 4,6\left(-5\right)x+6y=6\times 3$$

Simplifica.

$$-30x+10y=-20,-30x+6y=18$$

Resta -30x+6y=18 de -30x+10y=-20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-30x+30x+10y-6y=-20-18$$

Suma -30x a 30x. -30x e 30x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y-6y=-20-18$$

Suma 10y a -6y.

$$4y=-20-18$$

Suma -20 a -18.

$$4y=-38$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=-\frac{19}{2}$$

Substitúe y por -\frac{19}{2} en -5x+y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x-\frac{19}{2}=3$$

Suma \frac{19}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-5x=\frac{25}{2}$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$