Resolver {l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x-18y=-85$$

Suma 18y en ambos lados da ecuación.

$$6x=18y-85$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por 18y-85.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

Substitúe x por 3y-\frac{85}{6} na outra ecuación, 24x-5y=-5.

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

Multiplica 24 por 3y-\frac{85}{6}.

$$72y-340-5y=-5$$

Suma 72y a -5y.

$$67y-340=-5$$

Suma 340 en ambos lados da ecuación.

$$67y=335$$

Divide ambos lados entre 67.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=3y-\frac{85}{6}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

Multiplica 3 por 5.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

Suma -\frac{85}{6} a 15.

$$x=\frac{5}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Para que 6x e 24x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 24 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

Resta 144x-30y=-30 de 144x-432y=-2040 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

Suma 144x a -144x. 144x e -144x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-432y+30y=-2040+30$$

Suma -432y a 30y.

$$-402y=-2040+30$$

Suma -2040 a 30.

$$-402y=-2010$$

Divide ambos lados entre -402.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 24x-5y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$24x-5\times 5=-5$$

Multiplica -5 por 5.

$$24x-25=-5$$

Suma 25 en ambos lados da ecuación.

$$24x=20$$

Divide ambos lados entre 24.

$$x=\frac{5}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$