Resolver {l}{6x+y=-9}{2x-3y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + y = - 9 } \\ { 2 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x+y=-9$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$6x=-y-9$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y-9\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -y-9.

$$x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}$$

Substitúe x por -\frac{y}{6}-\frac{3}{2} na outra ecuación, 2x-3y=7.

$$2\left(-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}\right)-3y=7$$

Multiplica 2 por -\frac{y}{6}-\frac{3}{2}.

$$-\frac{1}{3}y-3-3y=7$$

Suma -\frac{y}{3} a -3y.

$$-\frac{10}{3}y-3=7$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{10}{3}y=10$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{10}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=-\frac{1}{6}y-\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-3\right)-\frac{3}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{6} por -3.

$$x=\frac{1-3}{2}$$

Suma -\frac{3}{2} a \frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{6\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{6\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{6\left(-3\right)-2}&\frac{6}{6\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\left(-9\right)+\frac{1}{20}\times 7\\\frac{1}{10}\left(-9\right)-\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x+y=-9,2x-3y=7$$

Para que 6x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$2\times 6x+2y=2\left(-9\right),6\times 2x+6\left(-3\right)y=6\times 7$$

Simplifica.

$$12x+2y=-18,12x-18y=42$$

Resta 12x-18y=42 de 12x+2y=-18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+2y+18y=-18-42$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+18y=-18-42$$

Suma 2y a 18y.

$$20y=-18-42$$

Suma -18 a -42.

$$20y=-60$$

Divide ambos lados entre 20.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en 2x-3y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-3\left(-3\right)=7$$

Multiplica -3 por -3.

$$2x+9=7$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-3$$