Resolver {l}{6x+6y=6}{6x+3y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 6 y = 6 } \\ { 6 x + 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x+6y=6,6x+3y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x+6y=6$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$6x=-6y+6$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-6y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -6y+6.

$$x=-y+1$$

Substitúe x por -y+1 na outra ecuación, 6x+3y=-3.

$$6\left(-y+1\right)+3y=-3$$

Multiplica 6 por -y+1.

$$-6y+6+3y=-3$$

Suma -6y a 3y.

$$-3y+6=-3$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-9$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3+1$$

Suma 1 a -3.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x+6y=6,6x+3y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-6\times 6}&-\frac{6}{6\times 3-6\times 6}\\-\frac{6}{6\times 3-6\times 6}&\frac{6}{6\times 3-6\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 6-\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x+6y=6,6x+3y=-3$$

Resta 6x+3y=-3 de 6x+6y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+6y-3y=6+3$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-3y=6+3$$

Suma 6y a -3y.

$$3y=6+3$$

Suma 6 a 3.

$$3y=9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 6x+3y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+3\times 3=-3$$

Multiplica 3 por 3.

$$6x+9=-3$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$6x=-12$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=3$$