Resolver {l}{6x+5y=1}{x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 1 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x+5y=1$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$6x=-5y+1$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -5y+1.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}$$

Substitúe x por \frac{-5y+1}{6} na outra ecuación, x-y=2.

$$-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}-y=2$$

Suma -\frac{5y}{6} a -y.

$$-\frac{11}{6}y+\frac{1}{6}=2$$

Resta \frac{1}{6} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{6}y=\frac{11}{6}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{6}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-\frac{5}{6}y+\frac{1}{6}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-1\right)+\frac{1}{6}$$

Multiplica -\frac{5}{6} por -1.

$$x=\frac{5+1}{6}$$

Suma \frac{1}{6} a \frac{5}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-5}&-\frac{5}{6\left(-1\right)-5}\\-\frac{1}{6\left(-1\right)-5}&\frac{6}{6\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}+\frac{5}{11}\times 2\\\frac{1}{11}-\frac{6}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x+5y=1,x-y=2$$

Para que 6x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$6x+5y=1,6x+6\left(-1\right)y=6\times 2$$

Simplifica.

$$6x+5y=1,6x-6y=12$$

Resta 6x-6y=12 de 6x+5y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+5y+6y=1-12$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y+6y=1-12$$

Suma 5y a 6y.

$$11y=1-12$$

Suma 1 a -12.

$$11y=-11$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x-y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\left(-1\right)=2$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-1$$