Resolver {l}{6x+2y=300}{3x+5y=600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 300 } \\ { 3 x + 5 y = 600 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

$$y = \frac{225}{2} = 112\frac{1}{2} = 112.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x+2y=300$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$6x=-2y+300$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+300\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -2y+300.

$$x=-\frac{1}{3}y+50$$

Substitúe x por -\frac{y}{3}+50 na outra ecuación, 3x+5y=600.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+50\right)+5y=600$$

Multiplica 3 por -\frac{y}{3}+50.

$$-y+150+5y=600$$

Suma -y a 5y.

$$4y+150=600$$

Resta 150 en ambos lados da ecuación.

$$4y=450$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=\frac{225}{2}$$

Substitúe y por \frac{225}{2} en x=-\frac{1}{3}y+50. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{225}{2}+50$$

Multiplica -\frac{1}{3} por \frac{225}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{75}{2}+50$$

Suma 50 a -\frac{75}{2}.

$$x=\frac{25}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-2\times 3}&\frac{6}{6\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 300-\frac{1}{12}\times 600\\-\frac{1}{8}\times 300+\frac{1}{4}\times 600\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{2}\\\frac{225}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Para que 6x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 300,6\times 3x+6\times 5y=6\times 600$$

Simplifica.

$$18x+6y=900,18x+30y=3600$$

Resta 18x+30y=3600 de 18x+6y=900 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18x-18x+6y-30y=900-3600$$

Suma 18x a -18x. 18x e -18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-30y=900-3600$$

Suma 6y a -30y.

$$-24y=900-3600$$

Suma 900 a -3600.

$$-24y=-2700$$

Divide ambos lados entre -24.

$$y=\frac{225}{2}$$

Substitúe y por \frac{225}{2} en 3x+5y=600. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+5\times \frac{225}{2}=600$$

Multiplica 5 por \frac{225}{2}.

$$3x+\frac{1125}{2}=600$$

Resta \frac{1125}{2} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{75}{2}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{25}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$