Resolver {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=50$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x+15y=360$$

Resta 15y en ambos lados da ecuación.

$$6x=-15y+360$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -15y+360.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

Substitúe x por -\frac{5y}{2}+60 na outra ecuación, 8x+10y=440.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

Multiplica 8 por -\frac{5y}{2}+60.

$$-20y+480+10y=440$$

Suma -20y a 10y.

$$-10y+480=440$$

Resta 480 en ambos lados da ecuación.

$$-10y=-40$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=-\frac{5}{2}y+60. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

Multiplica -\frac{5}{2} por 4.

$$x=-10+60$$

Suma 60 a -10.

$$x=50$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=50,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=50,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Para que 6x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

Simplifica.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

Resta 48x+60y=2640 de 48x+120y=2880 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

Suma 48x a -48x. 48x e -48x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$120y-60y=2880-2640$$

Suma 120y a -60y.

$$60y=2880-2640$$

Suma 2880 a -2640.

$$60y=240$$

Divide ambos lados entre 60.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 8x+10y=440. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x+10\times 4=440$$

Multiplica 10 por 4.

$$8x+40=440$$

Resta 40 en ambos lados da ecuación.

$$8x=400$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=50$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=50,y=4$$