Resolver {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver u, v

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a u mediante o illamento de u no lado esquerdo do signo igual.

$$6u+4v=5$$

Resta 4v en ambos lados da ecuación.

$$6u=-4v+5$$

Divide ambos lados entre 6.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -4v+5.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

Substitúe u por -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} na outra ecuación, 9u-8v=4.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

Multiplica 9 por -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

Suma -6v a -8v.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

Resta \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

Divide ambos lados entre -14.

$$v=\frac{1}{4}$$

Substitúe v por \frac{1}{4} en u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar u directamente.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por \frac{1}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

Suma \frac{5}{6} a -\frac{1}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$u=\frac{2}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz u e v.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Para que 6u e 9u sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 9 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

Simplifica.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

Resta 54u-48v=24 de 54u+36v=45 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

Suma 54u a -54u. 54u e -54u anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$36v+48v=45-24$$

Suma 36v a 48v.

$$84v=45-24$$

Suma 45 a -24.

$$84v=21$$

Divide ambos lados entre 84.

$$v=\frac{1}{4}$$

Substitúe v por \frac{1}{4} en 9u-8v=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar u directamente.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

Multiplica -8 por \frac{1}{4}.

$$9u-2=4$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$9u=6$$

Divide ambos lados entre 9.

$$u=\frac{2}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$