Resolver {l}{6+2a+b=0}{24-4a+b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 + 2 a + b = 0 } \\ { 24 - 4 a + b = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=3$$

$$b=-12$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$2a+b+6=0$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$2a+b=-6$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$2a=-b-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b-6\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -b-6.

$$a=-\frac{1}{2}b-3$$

Substitúe a por -\frac{b}{2}-3 na outra ecuación, -4a+b+24=0.

$$-4\left(-\frac{1}{2}b-3\right)+b+24=0$$

Multiplica -4 por -\frac{b}{2}-3.

$$2b+12+b+24=0$$

Suma 2b a b.

$$3b+12+24=0$$

Suma 12 a 24.

$$3b+36=0$$

Resta 36 en ambos lados da ecuación.

$$3b=-36$$

Divide ambos lados entre 3.

$$b=-12$$

Substitúe b por -12 en a=-\frac{1}{2}b-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-12\right)-3$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -12.

$$a=6-3$$

Suma -3 a 6.

$$a=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=3,b=-12$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-4\right)}&\frac{2}{2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)-\frac{1}{6}\left(-24\right)\\\frac{2}{3}\left(-6\right)+\frac{1}{3}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=3,b=-12$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2a+b+6=0,-4a+b+24=0$$

Resta -4a+b+24=0 de 2a+b+6=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2a+4a+b-b+6-24=0$$

Suma b a -b. b e -b anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2a+4a+6-24=0$$

Suma 2a a 4a.

$$6a+6-24=0$$

Suma 6 a -24.

$$6a-18=0$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$6a=18$$

Divide ambos lados entre 6.

$$a=3$$

Substitúe a por 3 en -4a+b+24=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar b directamente.

$$-4\times 3+b+24=0$$

Multiplica -4 por 3.

$$-12+b+24=0$$

Suma -12 a 24.

$$b+12=0$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$b=-12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=3,b=-12$$