Resolver {l}{50x+y=200}{60x+y=260}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=-100$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$50x+y=200$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$50x=-y+200$$

Divide ambos lados entre 50.

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

Multiplica \frac{1}{50} por -y+200.

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

Substitúe x por -\frac{y}{50}+4 na outra ecuación, 60x+y=260.

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

Multiplica 60 por -\frac{y}{50}+4.

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

Suma -\frac{6y}{5} a y.

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

Resta 240 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{5}y=20$$

Multiplica ambos lados por -5.

$$y=-100$$

Substitúe y por -100 en x=-\frac{1}{50}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

Multiplica -\frac{1}{50} por -100.

$$x=2+4$$

Suma 4 a 2.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-100$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=-100$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Resta 60x+y=260 de 50x+y=200 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$50x-60x+y-y=200-260$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$50x-60x=200-260$$

Suma 50x a -60x.

$$-10x=200-260$$

Suma 200 a -260.

$$-10x=-60$$

Divide ambos lados entre -10.

$$x=6$$

Substitúe x por 6 en 60x+y=260. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$60\times 6+y=260$$

Multiplica 60 por 6.

$$360+y=260$$

Resta 360 en ambos lados da ecuación.

$$y=-100$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-100$$