Resolver {l}{50a+40b=40050}{60a+52b=5000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 a + 40 b = 40050 } \\ { 60 a + 52 b = 5000 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=9413$$

$$b=-10765$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$50a+40b=40050,60a+52b=5000$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$50a+40b=40050$$

Resta 40b en ambos lados da ecuación.

$$50a=-40b+40050$$

Divide ambos lados entre 50.

$$a=\frac{1}{50}\left(-40b+40050\right)$$

Multiplica \frac{1}{50} por -40b+40050.

$$a=-\frac{4}{5}b+801$$

Substitúe a por -\frac{4b}{5}+801 na outra ecuación, 60a+52b=5000.

$$60\left(-\frac{4}{5}b+801\right)+52b=5000$$

Multiplica 60 por -\frac{4b}{5}+801.

$$-48b+48060+52b=5000$$

Suma -48b a 52b.

$$4b+48060=5000$$

Resta 48060 en ambos lados da ecuación.

$$4b=-43060$$

Divide ambos lados entre 4.

$$b=-10765$$

Substitúe b por -10765 en a=-\frac{4}{5}b+801. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{4}{5}\left(-10765\right)+801$$

Multiplica -\frac{4}{5} por -10765.

$$a=8612+801$$

Suma 801 a 8612.

$$a=9413$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=9413,b=-10765$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$50a+40b=40050,60a+52b=5000$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{50\times 52-40\times 60}&-\frac{40}{50\times 52-40\times 60}\\-\frac{60}{50\times 52-40\times 60}&\frac{50}{50\times 52-40\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{50}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{50}\times 40050-\frac{1}{5}\times 5000\\-\frac{3}{10}\times 40050+\frac{1}{4}\times 5000\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9413\\-10765\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=9413,b=-10765$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$50a+40b=40050,60a+52b=5000$$

Para que 50a e 60a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 60 e todos os termos a cada lado da segunda por 50.

$$60\times 50a+60\times 40b=60\times 40050,50\times 60a+50\times 52b=50\times 5000$$

Simplifica.

$$3000a+2400b=2403000,3000a+2600b=250000$$

Resta 3000a+2600b=250000 de 3000a+2400b=2403000 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3000a-3000a+2400b-2600b=2403000-250000$$

Suma 3000a a -3000a. 3000a e -3000a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2400b-2600b=2403000-250000$$

Suma 2400b a -2600b.

$$-200b=2403000-250000$$

Suma 2403000 a -250000.

$$-200b=2153000$$

Divide ambos lados entre -200.

$$b=-10765$$

Substitúe b por -10765 en 60a+52b=5000. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$60a+52\left(-10765\right)=5000$$

Multiplica 52 por -10765.

$$60a-559780=5000$$

Suma 559780 en ambos lados da ecuación.

$$60a=564780$$

Divide ambos lados entre 60.

$$a=9413$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=9413,b=-10765$$